C#数值计算：模拟退火法详解（上）

1. 概述

在管理科学、计算机科学、分子物理学、生命科学，以及超大规模集成电路设计、代码设计、图像处理和电子工程等领域，存在大量的组合优化问题。这些问题中，诸如货郎担问题、图着色问题、设备布局问题以及布线问题等，至今仍缺乏有效的多项式时间算法，均被证明为NP完全问题。

1982年，KirkPatrick将退火原理引入组合优化领域，提出了一种算法用于解决大规模组合优化问题，尤其在NP完全问题上取得了显著的效果。这种思想源于固体的退火过程，即通过将温度初始升高然后缓慢降温的方式，使系统最终达到能量的最低状态。如果骤然降温（即淬火），则无法实现这一目标。

在相关文献中提到：“模拟退火是一种可以应用于任何基于连续更新步骤（无论是随机还是确定性）进行最小化或学习过程的技术，其中更新步骤的长度与任意设置的参数成正比，该参数可视为温度。随后，仿照金属退火的过程，初期阶段将温度设置得较高以加快最小化或学习过程，然后逐步降低温度以增强系统的稳定性。”

因此，模拟退火算法是一种能够应用于最小值问题或基本更新学习过程（随机或确定性）的方法。在此过程中，每一步的更新都会受一个对应参数的影响，这一参数在算法中充当温度的角色。与金属退火原理相似，在初始阶段温度被设定为较高以便快速收敛，随后才慢慢降低以便寻求稳定。

2. 模拟退火算法的主要思想

针对函数最小值问题，模拟退火的基本思想是：在搜索范围（二维平面中）随机游走（即随机选择点），根据Metropolis抽样准则，使随机游走逐渐收敛至局部最优解。在这一过程中，温度作为Metropolis算法中的重要控制参数，决定了在搜索过程中向局部最优解或全局最优解移动的速度。

冷却参数表、领域结构、新解生成器、接受准则和随机数生成器（即Metropolis算法）共同构成了算法的三大支柱。

3. 重点抽样与Metropolis算法

Metropolis算法是一种高效的重点抽样方法，其基本流程为：系统从一个状态E1转换至另一状态E2时，该状态转变的概率为p = exp[(E2-E1)/kT]。在E2小于E1的情况下，系统将接受这一状态；而在E2大于E1时则以一定的随机概率决定是否接受该状态。经过多次迭代，系统最终将收敛到一个稳定的分布状态。

在重点抽样过程中，如果新的状态下降则直接接受（即局部最优），而若状态上升，则以一定概率接受该状态（即进行全局搜索）。模拟退火方法从某一初始解出发，经过大量解空间变换后，可以在给定控制参数值时获得组合优化问题的相对最优解。然后通过降低控制参数T的值，重复执行Metropolis算法，最终在T趋近于零时求得组合优化问题的整体最优解，需确保控制参数的值缓慢衰减。

4. 参数的选择

我们将调整模拟退火法的一系列重要参数称为冷却进度表。该进度表涵盖控制参数T的初值及衰减函数、相应的马尔可夫链长度以及停止条件，这些都是非常关键的。

一个有效的冷却进度表应当规定以下参数：

1. 控制参数T的初值T0；

2. 控制参数T的衰减函数；

3. 马尔可夫链的长度Lk（即每次随机游走应迭代多少次，使之趋势于准平衡分布，达到一个局部收敛解位置）；

4. 结束条件的选择。

有效的冷却进度表评判标准包括：

一、算法的收敛性：这主要依赖于衰减函数、马尔可夫链长度及停止准则的选择。

二、算法的实验性能：最终解的质量及所消耗的CPU时间。

参数选择的考虑：

1) 控制参数T0的初值选择

一般要求初始值T0较大，以确保系统在高温状态下，且Metropolis的接收概率接近1。

2) 衰减函数的选择

衰减函数用于控制温度的退火速度，常用的形式为：T(n + 1) = K*T(n)，其中K为接近1的常数。

3) 马尔可夫链长度L的选择

原则上，确定了衰减参数T的衰减函数后，应确保在每一控制参数取值下，L能实现准平衡的恢复。